2026/02/08 星期日

慈善經濟主義「數學需求效用函數」模型

知識7

日期:2026/02/07   IAE Frank Chen

數學效用函數模型（含：結構、內變數、調節變數、可衡量化、動態版）。

1) 總效用函數（乘積型、任一歸零即失效）

令三大效用指數皆標準化到 [0,1][0,1]：

  • L∈[0,1]L \in [0,1]：生活效用（Living Utility）

  • S∈[0,1]S \in [0,1]：生存效用（Survival Utility）

  • V∈[0,1]V \in [0,1]：生命效用（Life Utility）

最核心的乘積型總效用：

 

U=Φ⋅Lα Sβ VγU = \Phi \cdot L^{\alpha}\, S^{\beta}\, V^{\gamma}

  • α,β,γ>0\alpha,\beta,\gamma>0：三大效用的社會偏好權重（可估計/可設定）

  • Φ\Phi：五大內生調節變數的「文明穩定器/不反噬」系數（見第3節）

  • 若 L=0L=0 或 S=0S=0 或 V=0V=0 ⇒ U=0U=0：符合你原始乘積制約邏輯

為了保證「任何一層接近 0 時，懲罰更強」，也可用 CES-乘積混合（更尖銳的最低值約束）：

U=Φ⋅(ωLLρ+ωSSρ+ωVVρ)1ρ(ρ≪1)U=\Phi\cdot \Big(\omega_L L^\rho+\omega_S S^\rho+\omega_V V^\rho\Big)^{\frac{1}{\rho}} \quad (\rho\ll 1)

但你原始精神最純粹的是乘積型（第一式）。

2) 三大效用的內變數建模（指數化/可量測）

2.1 生活效用 LL

令生活層的五個子指標（都標準化到 [0,1][0,1]）：

  • bb：基本需求滿足（食衣住行育樂醫教）

  • dd：尊嚴（反剝削/反歧視/不物化）

  • pp：心理安全（穩定、可預期、低焦慮）

  • cc：社會連結（家庭/社群/互助）

  • rr：創造與參與（非被動消費）

用加權幾何平均（能保留「短板效應」）：

L=bwb dwd pwp cwc rwr,∑wi=1,  wi≥0L = b^{w_b}\, d^{w_d}\, p^{w_p}\, c^{w_c}\, r^{w_r}, \quad \sum w_i=1,\; w_i\ge 0

幾何平均很適合你的哲學：某項很差會拉低整體，不讓「高收入」單一指標洗白。

2.2 生存效用 SS

子指標：

  • kk：風險抵禦（疾病/失業/災害/戰爭）

  • gg：保障可得性（coverage 是「可得」不是「資格」）

  • η\eta：系統韌性（不崩潰而非效率極大化）

  • τ\tau：代際延續（下一代是否更脆弱）

同樣用幾何平均：

S=kuk gug ηuη τuτ,∑ui=1S = k^{u_k}\, g^{u_g}\, \eta^{u_\eta}\, \tau^{u_\tau}, \quad \sum u_i=1

2.3 生命效用 VV

子指標：

  • vv：生命價值感（不被用完就丟）

  • mm：使命感/貢獻意義

  • ss：精神成長（慈愛、智慧、圓滿）

  • qq：文明參與度（我是文明的一部分）

  • ℓ\ell：存在延續（精神/價值可傳承）

V=vzv mzm szs qzq ℓzℓ,∑zi=1V = v^{z_v}\, m^{z_m}\, s^{z_s}\, q^{z_q}\, \ell^{z_\ell}, \quad \sum z_i=1

3) 五大內生調節變數（「不反噬」乘子 Φ\Phi）

你五個內生調節變數（全部 [0,1][0,1]）：

  • CC：慈愛係數（減少痛苦而非轉移痛苦）

  • WW：智慧係數（避免短期掠奪最優解）

  • AA：公平可達性（人人可用、規則可理解可參與）

  • RR：貢獻回饋閉環（付出被記錄→文明信用/權益/尊嚴）

  • NN：系統不作惡約束（不以痛苦、戰爭、破壞生態換效率）

最直接的文明穩定器：

Φ=CθC WθW AθA RθR NθN,∑θi=1\Phi = C^{\theta_C}\, W^{\theta_W}\, A^{\theta_A}\, R^{\theta_R}\, N^{\theta_N}, \quad \sum \theta_i=1

並加入你強調的「不作惡是硬約束」版本（門檻/關斷）：

Φ=(CθCWθWAθARθR)⋅I(N≥Nˉ)\Phi = \Big(C^{\theta_C} W^{\theta_W} A^{\theta_A} R^{\theta_R}\Big) \cdot \mathbb{I}(N\ge \bar N)

  • I(⋅)\mathbb{I}(\cdot) 是指示函數：一旦不作惡低於門檻 Nˉ\bar N，系統失去合法性/效用崩潰（符合你的倫理硬約束）

4) 合成後的完整「慈善經濟主義效用函數」

把第2、3節代入第1節：

U=(CθCWθWAθARθRNθN)⋅(bwbdwdpwpcwcrwr)α⋅(kukgugηuητuτ)β⋅(vzvmzmszsqzqℓzℓ)γU = \Big(C^{\theta_C} W^{\theta_W} A^{\theta_A} R^{\theta_R} N^{\theta_N}\Big) \cdot \Big(b^{w_b} d^{w_d} p^{w_p} c^{w_c} r^{w_r}\Big)^{\alpha} \cdot \Big(k^{u_k} g^{u_g} \eta^{u_\eta} \tau^{u_\tau}\Big)^{\beta} \cdot \Big(v^{z_v} m^{z_m} s^{z_s} q^{z_q} \ell^{z_\ell}\Big)^{\gamma}

這就是可直接放進白皮書/論文的「一條式」母模型。

5) 可估計化：用 log 形式做實證/校準

取對數（方便回歸、權重估計、敏感度分析）：

ln⁡U=∑iθiln⁡Gi+α∑jwjln⁡Lj+β∑huhln⁡Sh+γ∑tztln⁡Vt\ln U = \sum_i \theta_i \ln G_i + \alpha \sum_j w_j \ln L_j + \beta \sum_h u_h \ln S_h + \gamma \sum_t z_t \ln V_t

其中：

  • Gi∈{C,W,A,R,N}G_i\in\{C,W,A,R,N\}

  • Lj∈{b,d,p,c,r}L_j\in\{b,d,p,c,r\}

  • Sh∈{k,g,η,τ}S_h\in\{k,g,\eta,\tau\}

  • Vt∈{v,m,s,q,ℓ}V_t\in\{v,m,s,q,\ell\}

6) 動態版（時間、非線性回饋、文明相干）

為了容納你說的「非線性回饋/相干性/觀測即影響」，把子指標改成時間序列：

Ut=Φt⋅LtαStβVtγU_t=\Phi_t\cdot L_t^{\alpha} S_t^{\beta} V_t^{\gamma}

並讓「貢獻回饋閉環」與「精神成長」具有正回饋（非線性）：

Rt+1=Rt+κ⋅σ(ΔContribt)−δRtR_{t+1} = R_t + \kappa \cdot \sigma(\Delta \text{Contrib}_t) - \delta R_t st+1=st+λ⋅σ(Recognitiont)−μsts_{t+1} = s_t + \lambda \cdot \sigma(\text{Recognition}_t) - \mu s_t

  • σ(⋅)\sigma(\cdot)：S型函數（例如 logistic），對應「小善行可引發系統性改變」的非線性增益

  • Recognition（被承認/被觀測）進入狀態方程 ⇒ 形式化「觀測即影響」

7) 最小可用版本（你要一個最精簡的數學定義）

如果你要最短、最硬核的定義（放在摘要/定義框）：

Ut=CtθCWtθWAtθARtθRNtθN⏟文明穩定器⋅LtαStβVtγ⏟生活×生存×生命乘積效用,Lt,St,Vt∈[0,1]U_t= \underbrace{C_t^{\theta_C}W_t^{\theta_W}A_t^{\theta_A}R_t^{\theta_R}N_t^{\theta_N}}_{\text{文明穩定器}} \cdot \underbrace{L_t^{\alpha}S_t^{\beta}V_t^{\gamma}}_{\text{生活×生存×生命乘積效用}} ,\quad L_t,S_t,V_t\in[0,1]

CtθC​​WtθW​​AtθA​​RtθR​​NtθN​​​​⋅生活×生存×生命乘積效用

Ltα​Stβ​Vtγ​​​,Lt​,St​,Vt​∈[0,1]