《文明金融 × 文明型數位資產》數學推導完整版（含偏微分方程）

知識7

日期:2026/02/26 IAE Frank Chen

《文明金融 × 文明型數位資產》

1數學推導完整版（含偏微分方程）

Civilizational Finance & Civilizational Digital Assets: A Full Mathematical Derivation with PDEs
Civilizational Economic School（慈善經濟主義文明型經濟學派）

目錄與頁碼配置

Part I 基礎定義與公理（p.1–12）

符號系統與狀態變數（p.1–3）
文明資本、文明負債、文明乘數公理（p.4–8）
文明合法性與內生化外部性約束（p.9–12）

Part II 微觀：企業文明最適控制（p.13–40）
4. 企業效用函數：Living×Survival×Life 的可微化表示（p.13–18）
5. 文明成本內生化：CSR×CGR 的連續型模型（p.19–24）
6. 最適控制與 HJB PDE（p.25–33）
7. 漂綠、事故與跳躍過程：HJB–Integro-PDE（p.34–40）

Part III 中觀：文明資本擴散與產業動態（p.41–62）
8. 企業群體分布演化：Fokker–Planck PDE（p.41–48）
9. 文明評分在產業鏈擴散：反應–擴散 PDE（p.49–56）
10. 供應鏈責任傳導：耦合 PDE 網路模型（p.57–62）

Part IV 宏觀：文明貨幣政策與 CBDC-C（p.63–82）
11. 文明泰勒法則與狀態空間模型（p.63–70）
12. 文明利率曲線：PDE 型 term-structure（p.71–76）
13. 文明型 CBDC 的政策控制 PDE（p.77–82）

Part V 資本市場：GCEI 指數、資產定價與 PDE（p.83–100）
14. 文明加權市值與指數可微化（p.83–87）
15. 文明型資產定價：擴展 Black–Scholes PDE（p.88–94）
16. 校準、數值解法與案例（p.95–100）

Part I：基礎定義與公理（p.1–12）

1. 符號與狀態變數（核心定義）

令時間 $t \in [0, T]$ $t \in [0, T]$ 。
對單一企業 $i$ $i$ 定義狀態向量：

$X_t = (K_t, C_t, E_t, G_t, L_t)$ $X_{t} = (K_{t}, C_{t}, E_{t}, G_{t}, L_{t})$

$K_t$ $K_{t}$ ：金融資本（financial capital / market cap proxy）

$C_t$ $C_{t}$ ：文化資本（cultural capital, IP/heritage anchoring）

$E_t$ $E_{t}$ ：生態資本（ecological capital: restoration stock）

$G_t$ $G_{t}$ ：治理透明度（governance transparency）

$L_t$ $L_{t}$ ：文明負債（civilizational liabilities：碳、水、供應鏈、人權等外部性負債的聚合）

文明責任評分（連續型）：

$S_t = S(X_t)\in[0,200],\qquad S_t = CSR_t + CGR_t$ $S_{t} = S (X_{t}) \in [0, 200], S_{t} = CS R_{t} + CG R_{t}$

文明乘數：

$CMC_t = 1 + \Theta(X_t)\in[0.8,1.3]$ $CM C_{t} = 1 + Θ (X_{t}) \in [0.8, 1.3]$

文明合法性（淨文明貢獻）：

$NCC_t = \Pi_t - \Big(\Lambda^{soc}_t+\Lambda^{eco}_t+\Lambda^{civ}_t\Big)$ $NC C_{t} = Π_{t} - (Λ_{t soc} + Λ_{t eco} + Λ_{t c i v})$

其中 $\Pi_t$ $Π_{t}$ 為利潤流（或自由現金流）， $\Lambda$ $Λ$ 為內生化後的三類成本。

2. 文明資本公理（四公理）

公理 A1（文明資本可加）

$V^{total}_t = V^{fin}_t + V^{civ}_t$ $V_{t t o t a l} = V_{t f in} + V_{t c i v}$

公理 A2（文明資本由責任狀態決定）

$V^{civ}_t = f(S_t, CMC_t, G_t),\quad \partial_{S}f>0,\ \partial_{CMC}f>0,\ \partial_{G}f>0$ $V_{t c i v} = f (S_{t}, CM C_{t}, G_{t}), \partial_{S} f > 0, \partial_{CMC} f > 0, \partial_{G} f > 0$

公理 A3（負債侵蝕性）

$\frac{\partial V^{civ}_t}{\partial L_t}<0$ $\partial L _{t} \partial V _{t c i v} < 0$

公理 A4（內生化約束）
企業可行策略集合 $\mathcal{U}$ $U$ 必須滿足：

$NCC_t \ge 0 \quad \text{(文明合法性門檻)}$ $NC C_{t} \geq 0 (文明合法性門檻)$

Part II：微觀——企業文明最適控制（p.13–40）

4. 企業效用函數：乘積結構的可微化表示

您先前的核心效用：

$U = f(\text{Living}\times \text{Survival}\times \text{Life})$ $U = f (Living \times Survival \times Life)$

為便於最適控制，取對數型效用（保留「任一為零則總體崩潰」的性質）：

$u(X_t, a_t)=\ln(\ell_t)+\ln(s_t)+\ln(\lambda_t)$ $u (X_{t}, a_{t}) = ln (ℓ_{t}) + ln (s_{t}) + ln (λ_{t})$

其中 $\ell_t,s_t,\lambda_t>0$ $ℓ_{t}, s_{t}, λ_{t} > 0$ 分別為生活/生存/生命子效用，並令其依狀態與控制決定：

$\ell_t=\ell(X_t,a_t),\quad s_t=s(X_t,a_t),\quad \lambda_t=\lambda(X_t,a_t)$ $ℓ_{t} = ℓ (X_{t}, a_{t}), s_{t} = s (X_{t}, a_{t}), λ_{t} = λ (X_{t}, a_{t})$

控制 $a_t$ $a_{t}$ 代表企業在時間 $t$ $t$ 的配置向量，例如：

$a_t=(i^E_t, i^C_t, i^G_t, \chi_t)$ $a_{t} = (i_{t E}, i_{t C}, i_{t G}, χ_{t})$

$i^E_t$ $i_{t E}$ ：生態修復投入比率

$i^C_t$ $i_{t C}$ ：文化/教育投入比率

$i^G_t$ $i_{t G}$ ：治理透明投入

$\chi_t$ $χ_{t}$ ：合規與供應鏈改善強度

5. 狀態動力學：含隨機擾動的 SDE

令布朗運動 $W_t$ $W_{t}$ 。定義：

$\begin{aligned} dK_t &= \mu_K(K_t,a_t)\,dt + \sigma_K(K_t,a_t)\,dW_t\\ dE_t &= \mu_E(E_t,a_t)\,dt + \sigma_E(E_t,a_t)\,dW_t\\ dG_t &= \mu_G(G_t,a_t)\,dt + \sigma_G(G_t,a_t)\,dW_t\\ dL_t &= \mu_L(L_t,a_t)\,dt + \sigma_L(L_t,a_t)\,dW_t \end{aligned}$ $d K_{t} d E_{t} d G_{t} d L_{t} = μ_{K} (K_{t}, a_{t}) d t + σ_{K} (K_{t}, a_{t}) d W_{t} = μ_{E} (E_{t}, a_{t}) d t + σ_{E} (E_{t}, a_{t}) d W_{t} = μ_{G} (G_{t}, a_{t}) d t + σ_{G} (G_{t}, a_{t}) d W_{t} = μ_{L} (L_{t}, a_{t}) d t + σ_{L} (L_{t}, a_{t}) d W_{t}$

直觀約束：修復與治理投入可降低負債成長：

$\frac{\partial \mu_L}{\partial i^E_t}<0,\qquad \frac{\partial \mu_L}{\partial i^G_t}<0$ $\partial i _{t E} \partial μ _{L} < 0, \partial i _{t G} \partial μ _{L} < 0$

6. 企業最適控制問題（Bolza 型）

最大化期望折現效用：

$\max_{a\in\mathcal{U}} \ \mathbb{E}\left[\int_0^T e^{-\rho t}u(X_t,a_t)\,dt + e^{-\rho T}\Phi(X_T)\right]$ $a \in U max E [\int_{0 T} e^{- ρt} u (X_{t}, a_{t}) d t + e^{- ρT} Φ (X_{T})]$

其中 $\Phi$ $Φ$ 為終端文明價值（例如文明資本存量、認證等級）。

6.1 HJB 偏微分方程（核心）

令價值函數：

$V(t,x)=\sup_{a\in\mathcal{U}} \mathbb{E}_{t,x}\left[\int_t^T e^{-\rho (s-t)}u(X_s,a_s)\,ds + e^{-\rho(T-t)}\Phi(X_T)\right]$ $V (t, x) = a \in U sup E_{t, x} [\int_{t T} e^{- ρ (s - t)} u (X_{s}, a_{s}) d s + e^{- ρ (T - t)} Φ (X_{T})]$

則 $V$ $V$ 滿足 HJB PDE：

$\boxed{ \partial_t V + \sup_{a\in\mathcal{U}}\Big\{u(x,a) - \rho V + \nabla V\cdot \mu(x,a) + \tfrac12 \mathrm{Tr}\big(\Sigma(x,a)\nabla^2V\big)\Big\}=0 }$ $\partial_{t} V + a \in U sup {u (x, a) - ρ V + \nabla V \cdot μ (x, a) + 2 1 Tr (Σ (x, a) \nabla^{2} V)} = 0$

終端條件：

$V(T,x)=\Phi(x)$ $V (T, x) = Φ (x)$

其中 $\mu$ $μ$ 為漂移向量、 $\Sigma=\sigma\sigma^\top$ $Σ = σ σ^{⊤}$ 為協方差矩陣。

7. 漂綠/事故：跳躍過程 → HJB-積分偏微分方程（Integro-PDE）

令事故到達為泊松跳躍 $N_t$ $N_{t}$ ，強度 $\lambda(x,a)$ $λ (x, a)$ ，跳躍幅度 $\Delta x\sim \nu(\cdot)$ $Δ x \sim ν (\cdot)$ 。
則：

$dX_t = \mu(X_t,a_t)\,dt + \sigma(X_t,a_t)\,dW_t + \Delta X\,dN_t$ $d X_{t} = μ (X_{t}, a_{t}) d t + σ (X_{t}, a_{t}) d W_{t} + Δ X d N_{t}$

HJB 變成：

$\partial_t V + \sup_{a}\left\{u-\rho V+\mathcal{L}^aV + \lambda(x,a)\int\big[V(t,x+\Delta)-V(t,x)\big]\nu(d\Delta)\right\}=0$ $\partial_{t} V + a sup {u - ρ V + L^{a} V + λ (x, a) \int [V (t, x + Δ) - V (t, x)] ν (d Δ)} = 0$

其中 $\mathcal{L}^a$ $L^{a}$ 為擴散生成元。

**制度解釋：**漂綠一旦被抓到（跳躍事件）， $L$ $L$ 急升、 $G$ $G$ 急降、 $CMC$ $CMC$ 下修，等同於市場價值函數的“跳崩”。

Part III：中觀——文明資本擴散與產業動態（p.41–62）

8. 企業群體分布：Fokker–Planck PDE

令 $p(t,x)$ $p (t, x)$ 表示在時間 $t$ $t$ 企業狀態 $x$ $x$ 的密度分布。對給定策略 $a^*(t,x)$ $a^{*} (t, x)$ ，有：

$\boxed{ \partial_t p = -\nabla\cdot(\mu(x,a^*)p) + \tfrac12 \sum_{i,j}\partial_{ij}\left(\Sigma_{ij}(x,a^*)p\right) }$ $\partial_{t} p = - \nabla \cdot (μ (x, a^{*}) p) + 2 1 i, j \sum \partial_{ij} (Σ_{ij} (x, a^{*}) p)$

若含跳躍，需加入非局部項（Kolmogorov forward with jumps）。

**制度用途：**可推導「文明企業比例」隨時間演化，作為國家/區域文明指標 $C_t$ $C_{t}$ 的微觀基礎。

9. 文明評分擴散：反應–擴散 PDE（產業鏈/地理擴散）

令 $s(t,z)$ $s (t, z)$ 表示在產業鏈座標或地理座標 $z$ $z$ 上的平均文明評分，則：

$\boxed{ \partial_t s = D\Delta s + R(s) - \Xi(z,t) }$ $\partial_{t} s = D Δ s + R (s) - Ξ (z, t)$

$D$ $D$ ：擴散係數（供應鏈/資訊傳導速度）

$R(s)$ $R (s)$ ：正向反應項（制度激勵使評分自我強化）

$\Xi$ $Ξ$ ：負向衝擊（事故、漂綠、污染事件）

典型取：

$R(s)=\alpha s(1-\tfrac{s}{\bar{s}}) \quad (\text{Logistic})$ $R (s) = α s (1 - s ˉ s) (Logistic)$

可表現「文明制度成熟後的飽和值」。

10. 供應鏈責任耦合 PDE（網路版）

供應鏈節點 $k=1,\dots,n$ $k = 1, \dots, n$ ，每個節點有評分場 $s_k(t)$ $s_{k} (t)$ ：

$\frac{ds_k}{dt} = \sum_{j}A_{kj}(s_j-s_k)+R_k(s_k)-\Xi_k$ $d t d s _{k} = j \sum A_{kj} (s_{j} - s_{k}) + R_{k} (s_{k}) - Ξ_{k}$

或連續化為圖拉普拉斯：

$\partial_t s = -\mathcal{L}_{graph}s + R(s)-\Xi$ $\partial_{t} s = - L_{g r a p h} s + R (s) - Ξ$

**制度解釋：**上游的責任改善會沿網路擴散，反之事故會造成連鎖降級。

Part IV：宏觀——文明貨幣政策與 CBDC-C（p.63–82）

11. 文明泰勒法則：把文明缺口納入利率

令通膨 $\pi_t$ $π_{t}$ 、產出缺口 $y_t-y^*$ $y_{t} - y^{*}$ 、文明指標 $C_t$ $C_{t}$ 。
文明型政策利率：

$\boxed{ i_t=r^*+\pi_t+a(\pi_t-\pi^*)+b(y_t-y^*)-c(C_t-C^*) }$ $i_{t} = r^{*} + π_{t} + a (π_{t} - π^{*}) + b (y_{t} - y^{*}) - c (C_{t} - C^{*})$

其中 $C_t$ $C_{t}$ 可由企業分布 $p(t,x)$ $p (t, x)$ 聚合得到，例如：

$C_t = \int \omega(x) S(x)p(t,x)\,dx$ $C_{t} = \int ω (x) S (x) p (t, x) d x$

（ $\omega$ $ω$ 可為市值或就業權重）

12. 文明利率期限結構：PDE 型 term structure（文明短率模型）

令文明短率（企業或部門的資金價格）：

$r(t,x)=r_0(t)-\psi \frac{S(x)}{200}-\omega(CMC(x)-1)+\text{Penalty}(x)$ $r (t, x) = r_{0} (t) - ψ 200 S ( x ) - ω (CMC (x) - 1) + Penalty (x)$

零息債價格 $P(t,T,x)$ $P (t, T, x)$ 依 Feynman–Kac 滿足：

$\boxed{ \partial_t P + \mathcal{L}P - r(t,x)P = 0,\qquad P(T,T,x)=1 }$ $\partial_{t} P + L P - r (t, x) P = 0, P (T, T, x) = 1$

其中 $\mathcal{L}$ $L$ 為狀態 $x$ $x$ 的生成元（含擴散/跳躍）。

13. CBDC-C：政策控制 PDE（央行作為控制者）

央行控制 $u_t$ $u_{t}$ （再融資利率、文明補貼強度、保證金要求等），令社會福利：

$\max_{u}\ \mathbb{E}\left[\int_0^T e^{-\beta t}\Big(W(\pi_t,y_t,C_t) - \Omega(u_t)\Big)dt\right]$ $u max E [\int_{0 T} e^{- βt} (W (π_{t}, y_{t}, C_{t}) - Ω (u_{t})) d t]$

狀態方程可採線性近似（示意）：

$\begin{aligned} d\pi_t &= f_\pi(\pi_t,y_t,u_t)\,dt+\sigma_\pi dW_t\\ dy_t &= f_y(\pi_t,y_t,C_t,u_t)\,dt+\sigma_y dW_t\\ dC_t &= f_C(C_t,u_t)\,dt+\sigma_C dW_t \end{aligned}$ $d π_{t} d y_{t} d C_{t} = f_{π} (π_{t}, y_{t}, u_{t}) d t + σ_{π} d W_{t} = f_{y} (π_{t}, y_{t}, C_{t}, u_{t}) d t + σ_{y} d W_{t} = f_{C} (C_{t}, u_{t}) d t + σ_{C} d W_{t}$

價值函數 $J(t,\pi,y,C)$ $J (t, π, y, C)$ 滿足 HJB：

$\boxed{ \partial_t J + \sup_{u}\{ W - \Omega(u) + \nabla J\cdot f + \tfrac12 \mathrm{Tr}(\Sigma\nabla^2J)\}=0 }$ $\partial_{t} J + u sup {W - Ω (u) + \nabla J \cdot f + 2 1 Tr (Σ \nabla^{2} J)} = 0$

這是「文明貨幣政策」的 PDE 版本。

Part V：資本市場——GCEI 指數與文明資產定價 PDE（p.83–100）

14. GCEI 指數：文明加權市值的可微化結構

企業文明加權市值：

$M_i^{civ}(t)=M_i(t)\cdot \frac{S_i(t)\cdot CMC_i(t)}{200}$ $M_{i c i v} (t) = M_{i} (t) \cdot 200 S _{i} ( t ) \cdot CM C _{i} ( t )$

指數：

$GCEI(t)=\frac{\sum_i M_i^{civ}(t)}{D(t)}$ $GCE I (t) = D ( t ) \sum _{i} M _{i c i v} ( t )$

若 $M_i$ $M_{i}$ 服從擴散， $S_i,CMC_i$ $S_{i}, CM C_{i}$ 亦由狀態推導，則 $GCEI$ $GCE I$ 可用 Itô 引理導出指數波動分解，形成「文明溢酬」可估計的結構。

15. 文明型資產定價：擴展 Black–Scholes PDE（含文明狀態）

令文明資產價格 $P(t)$ $P (t)$ 依賴狀態 $x$ $x$ （含 $S,CMC,L$ $S, CMC, L$ ）。
在風險中性測度 $\mathbb{Q}$ $Q$ 下：

$dP = r(t,x)P\,dt + \sigma_P(t,x)P\,dW_t$ $d P = r (t, x) P d t + σ_{P} (t, x) P d W_{t}$

對衍生品價格 $V(t,P,x)$ $V (t, P, x)$ ，有擴展 PDE：

$\boxed{ \partial_t V + \tfrac12\sigma_P^2P^2\partial_{PP}V + rP\partial_PV - rV + \mathcal{L}_x V = 0 }$ $\partial_{t} V + 2 1 σ_{P 2} P^{2} \partial_{PP} V + r P \partial_{P} V - r V + L_{x} V = 0$

其中 $\mathcal{L}_x$ $L_{x}$ 是文明狀態的生成元（對 $S,CMC,L$ $S, CMC, L$ 的微分算子）。
若含事故跳躍 → 變成 PIDE（偏微分–積分方程）。

16. 校準、數值解法與案例（可落地）

16.1 參數估計（建議）

$\mu,\sigma$ $μ, σ$ ：由企業財務與事故時間序列估計

$S$ $S$ （CSR/CGR）：由審計/揭露資料映射

$CMC$ $CMC$ ：由修復/教育/代際基金支出與結果 KPI 映射
跳躍強度 $\lambda$ $λ$ ：由事故/違規統計估計

16.2 數值解法（HJB / FP / 反應–擴散）

HJB：半拉格朗日（semi-Lagrangian）、policy iteration
Fokker–Planck：有限體積法（mass-conserving）
Reaction–Diffusion：Strang splitting
PIDE：FFT（若可卷積）或 IMEX scheme

16.3 簡化示例（可放白皮書）

以一維文明狀態 $x=S$ $x = S$ 簡化：

$dS_t = (\alpha - \beta S_t + \gamma i_t)\,dt + \sigma dW_t$ $d S_{t} = (α - β S_{t} + γ i_{t}) d t + σ d W_{t}$

利率：

$r(S)=r_0-\psi \frac{S}{200}$ $r (S) = r_{0} - ψ 200 S$

債券 PDE：

$\partial_t P + (\alpha-\beta S+\gamma i)\partial_S P +\tfrac12\sigma^2\partial_{SS}P - r(S)P=0$ $\partial_{t} P + (α - βS + γi) \partial_{S} P + 2 1 σ^{2} \partial_{SS} P - r (S) P = 0$

可直接數值解出「高文明評分 → 融資成本下降 → 債券價格上升」的定量曲線。

核心可直接放在「數學總結頁」的 PDE 系統（最終整合版）

(A) 微觀企業 HJB：

$\partial_t V + \sup_{a}\{u-\rho V+\nabla V\cdot \mu+\tfrac12\mathrm{Tr}(\Sigma\nabla^2V)\}=0$ $\partial_{t} V + a sup {u - ρ V + \nabla V \cdot μ + 2 1 Tr (Σ \nabla^{2} V)} = 0$

(B) 群體分布 Fokker–Planck：

$\partial_t p = -\nabla\cdot(\mu p)+\tfrac12\sum_{i,j}\partial_{ij}(\Sigma_{ij}p)$ $\partial_{t} p = - \nabla \cdot (μ p) + 2 1 i, j \sum \partial_{ij} (Σ_{ij} p)$

(C) 產業擴散 Reaction–Diffusion：

$\partial_t s = D\Delta s + R(s) - \Xi$ $\partial_{t} s = D Δ s + R (s) - Ξ$

(D) 文明期限結構 PDE：

$\partial_t P + \mathcal{L}P - r(x)P=0$ $\partial_{t} P + L P - r (x) P = 0$

(E) 文明資產定價 PDE：

$\partial_t V + \tfrac12\sigma_P^2P^2V_{PP} + rPV_P - rV + \mathcal{L}_xV=0$ $\partial_{t} V + 2 1 σ_{P 2} P^{2} V_{PP} + r P V_{P} - r V + L_{x} V = 0$

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